8 PYTANa stefan, Sprawozdania maszyny

1.) Płaszczyzna fazowa ?

Metoda płaszczyzny fazowej pozwala w przejrzysty sposób analizować właściwości dynamiczne układu nieliniowego w tym

-wyznaczyć przebiegi przejściowe,

-badać stabilność,

-stwierdzać występowanie i określać parametry cyklu granicznego,

-wyodrębniać różne zakresy działania nieliniowości.

Zmiennymi fazowymi-nazywamy zmienne stanu wyodrębnione tak, że będą one kolejnymi pochodnymi względem czasu pierwszej zmiennej, którą najczęściej jest zmienna wejściowa układu.

Przestrzeń fazowa-przestrzeń której współrzędne są zmienne fazowe.

Trajektoria bazowa-krzywa jaką zakreślają punkty bieżące w przestrzeni azowej.

Port fazowy-rodzina trajektorii fazowych dla wszystkich możliwych warunków początkowych.

Cechą tej metody jest brak czasu jednej zmiennej co ogranicza metodę do układów o stałych parametrach i układów autonomicznych. Graficzne zobrazowanie zmiennej stanu jest praktycznie wykonalne dla płaszczyzny, z tego względu metoda jest ograniczone tylko do układów I i II rzędu. Przyjmuje się układy współrzędnych (e’,e) lub (y’,y) gdzie y jest wielkością wejściową, a e uchybem regulacji układu. Trajektoria fazowa wychodzi punktu określonego przez warunki początkowe i zdąża:

a.) punktu równowagi (punkt pochodzenia funkcji e(t) lub y(t) jest równa 0),

b.) nieskończoność,

c.) krzywej zamkniętej, zwanym cyklem granicznym.

2.) Linearyzacja przez rozwiązanie w szeregu potęgowym ?(139)

Gdy układ pracuje w otoczeniu punktu pracy (punkt równowagi), wówczas możliwe jest zastąpienie nieliniowego równania matematycznego – linowym. Równanie liniowe (zlinearyzowane) otrzymuje się rozwiązując równania nieliniowe w szeregu potęgowym, w otoczeniu punktu pracy. Mając nieliniowy układ opisany nieliniowym równaniem nieliniowym w ogólnej postaci :

F(y,y’,…,y(n),u,u’,…,u(n))=0 i po przekształceniu otrzymamy :

Δy=k Δu gdzie k=(df(u)/du)0 . To z równania wynika, że linearyzacja poprzez rozwiązanie funkcji w szeregu potęgowym polega na zastąpieniu krzywej, odpowiadającej tej funkcji, styczną do niej w punkcie linearyzacji. Jeżeli odchylenie wartości sygnałów od punktu pracy układu są znaczne, linearyzacja tą metodą prowadzi do dużych błędów i w praktyce nie można jej zastosować.

3.) Linearyzacja metodą najmniejszych kwadratów ?(143)

Linearyzacje tą stosujemy gdy wartości sygnałów od punktu pracy układu są znaczne. Linearyzacja jest możliwa, gdy nieliniowa układ regulacji posiada wydzieloną część nieliniową statyczną f(e) i część liniową dynamiczną G(s). Funkcja aproksymująca opisana jest zależnością : u^(e)=ke. Wartość sygnału wejściowego e z przedziału [0,a] oznaczone przez e1, e2,…, eN, a odpowiadające im wartości funkcji aproksymowanej u(e) przez u1, u2,…, uN, oraz funkcji aproksymowanej liniowej u^(e) przez u^1, u^2,…, u^N. Błąd aproksymacji wynosi :

e=u1-u^1, i=1,2,…,N. W metodzie tej wskaźnik linearyzacji określony jest jako suma kwadratów błędów aproksymacji. Współczynnik nachylenia k funkcji liniowej należy tak dobrać aby wskaźnik jakości osiągnął wartość minimalną.

4.) Funkcja korelacji ?(229)

a.) Funkcja korelacji własnej sygnału losowego x(t) charakteryzuje ogólną zależność wartości sygnału pewnej określonej chwili od wartości w innej chwili. Funkcję korelacji własnej R x(τ) określa zależność :

R x(τ)=E[x(t)x(t+ τ)]

Funkcję korelacji własnej R(τ) wiążącej wartości x(t) w chwilach t i t+τ można otrzymać obliczając iloczyn tych wartości, a następnie uśredniając go w przedziale czasu T. Podstawowe własności funkcji korelacji własnej :

-funkcji korelacji własnej jest funkcją parzystą R x(τ)= R x(-τ)

-wartość początkowa funkcji R x(τ) jest równa wartości średniokwadratowanej sygnału R x(0)=E[x2(t)]=x2

-wartość funkcji korelacji przy τ nie równa się 0 nie przekracza wartości początkowej.

-dla τ dążące do nieskończoności wartość R x(τ) dąży do kwadratu wartości oczekiwanej.

b.) Funkcja korelacji wzajemnej dwóch sygnałów losowych charakteryzuje wzajemną zależność wartości jednego sygnału losowego od wartości drugiego sygnału losowego. Funkcję korelacji wzajemnej R xy(τ) określa się :

Funkcji korelacji wzajemnej R xy(τ) charakteryzuje :

-właściwości antysymetrii R xy(-τ)= R yx(τ)

-wartość początkowa funkcji R xy(τ) równa jest wartości oczekiwanej iloczynu rozpatrywanych sygnałów

R xy(0)=E[x(t)y(t)]

5.) Metody analityczne optymalizacji statycznej ?

a.) Sformułować zadanie optymalizacji statycznej

Sprowadza się ono w ogólnym przypadku do następującego problemu: znaleźć wartość zmiennych x1, x2, x3 …, xn, które ekstrema realizują zadany wskaźnik jakości, będący funkcją skalarną o postaci : J=F(x1, x2, …, xn)

Przy czym zmienne x1, x2, x3 …, xn, spełniają ograniczenie typu równościowego lub nierównościowego

Gi(x1, x2, x3 …, xn ) {≤ = ≥} bi dla i=1,2,…,m.

b.) Przedstawić sposób rozwiązywania zadań programowania liniowego i nieliniowego

W przypadku zadania programowania liniowego wskaźnik jakości J oraz funkcja ograniczeń gi są funkcjami liniowymi. Szczególnymi przypadkami programowania liniowego jest programowanie całkowitoliczbowe (rozwiązania optymalne mogą przyjmować tylko wartości całkowite) oraz programowanie logiczne (rozwiązanie może przyjmować tylko 0 lub 1).

W przypadku zadania programowania nieliniowego co najmniej 1 z funkcji występująca w tym zadaniu (J lub gi) jest nieliniowa. Szczególnym przypadkiem programowania nieliniowego jest programowanie kwadratowe, gdzie wskaźnik jakości jest funkcją kwadratową.

c.) Przedstawić sposób rozwiązywania zadań optymalizacji statycznej z ograniczeniami równościowymi (322)

Polega na znalezieniu punktu x0, którym funkcja J(x) osiąga ekstremum, przy czym x0 musi spełniać ograniczenia typu równościowego, gi(x)=bi, i=1,2,…,m m<n. dalszych rozważaniach zakłada się, że :

-funkcja J(x) i gi(x) (i-1,2,…,m) są całe w rozpatrywanym obszarze i mają w nim ciągłe pochodne cząstkowe względem xj,

- funkcja J(x) osiąga ekstremum warunkowe w pewnym punkcie x0 spełniającym ograniczenie gj(x)-bi=0 i=1,2,…,m,

Tak sformułowane zadanie może zastąpić zadanie bez ograniczeń wprowadzając funkcje Lagrange’a F(x,λ). Warunkiem koniecznym osiągania przez wskaźnik J(x) ekstremu warunkowego w punkcie x0 jest, aby istniały stałe λ1,λ2,…, λm, nie wszystkie równe 0. Z równań nie wynika, że funkcja J(x) ma ekstremum w punkcie x0. Ekstremu istnieje gdy jest zależność :

-w przypadku minimalizacji J(x)-wypukłość funkcji J(x) i gi(x) przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x0.

-rząd macierzy G(x0) równy m.

d.) Przedstawić sposób rozwiązywania zadań optymalizacji statycznej z ograniczeniami nierównościowymi (325)

Zadaniem jest znalezienie ekstremum wskaźnika jakości J(x) dla wszystkich x spełniających warunki gi(x){≥≤}bi. każdy rodzaj nierówności można sprawdzić mnożąc stronami przez -1 do postaci gi(x)≤bi.

e.) Omówić gradientowe metody numeryczne optymalizacji statycznej (329)

Metody gradientowe polegają na wyznaczaniu kolejnego kierunku poszukiwań na podstawie znajomości gradientu funkcji celu, w punkcie osiągniętym w poprzednim kroku. Funkcja celu musi być więc znaną w postaci analitycznej i ograniczoną od dołu funkcją wypukłą klasy C2 taką, by można ją było przybliżyć formą kwadratową postaci

f(x) = a+cTx + ½( xTAx)

w której macierz A jest symetryczna dodatnio określona, o elementach równych drugim pochodnym cząstkowym funkcji f(x)

f.) Omówić bezgradientowe metody numeryczne optymalizacji statycznej.?(328)

Metody bezgradientowe polegają na tym, że z punktu startowego wykonuje się kroki próbne kolejno w kierunkach bazowych, a więc wzajemnie ortogonalnych. Jeśli krok był pomyślny (czy wartość wskaźnika jakości zmalała przy szukaniu minimum) wykonuje się w tym kierunku krok roboczy i powtarza postępowanie. Jeśli krok był nie pomyślny to powraca się do punktu startowego i bada pozostałe kierunki. Jeśli natomiast jest niepomyślny we wszystkich kierunkach to powraca się do poprzedniego punktu startowego i przeprowadza poszukiwania przy mniejszej długości kroku.

6.) Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ?

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa sygnału losowego określa prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wartości sygnału w dowolnej chwili są zawarte w określonym przedziale. Wyjaśnić to można w oparciu o pewną realizacje x(t) procesu stochastycznego (str. 226). Prawdopodobieństwo tego, że wartości funkcji x(t) przypadają na przedział wartości od x do x+Δx można znaleźć wyznaczając czas Tx, który jest sumą przedziałów czasu, w których wartość sygnału znajduje się w przedziale (x, x+Δx) w czasie obserwacji T. Prawdopodobieństwo to można zapisać w następujący sposób :

Gdzie :

Gęstość prawdopodobieństwa p(x) jest zawsze funkcją rzeczywistą nieujemną.

Funkcję gęstości prawdopodobieństwa można wykorzystać do stwierdzenia czy analizowany sygnał losowy zawiera składową harmoniczną. Wynika to stąd, że gęstość prawdopodobieństwa rozkładu sumy sygnału harmonicznego i szumu losowego odzwierciedla cechy funkcji gęstości prawdopodobieństwa obu tych procesów.

7.) Korelacja w układach przekaźnikowych ?(213-216)

W układach regulacji dwupołożeniowej korekcje przeprowadza się także za pośrednictwem ujemnego, tachometrycznego (giętkiego) sprzężenia zwrotnego. Skutkiem zastosowania korekcyjnego ujemnego sprzężenia zwrotnego jest pochylenie linii przełączeń w lewo (w prawo przy sprzężeniu dodatnim). Pochylenie to powoduje przyspieszenie przełączenia przekaźnika w następstwie czego obniża się amplituda i podwyższa częstotliwość oscylacji ustalonych. Pojawić się tu może zasadniczo nowy typ procesu przejściowego, tzw. ruch ślizgowy. Polega on na tym, że linia przełączeń przekształca się w trajektorie fazową układu.

8.) Charakterystyki statyczne ?

W układach sterowania najczęściej spotyka się nieliniowość w postaci nieliniowych charakterystyk członów statycznych, krótko nazywanych nieliniowymi charakterystykami statycznymi. Są one krzywoliniowe, jednak dla celów praktycznych z wystarczającą dokładnością aproksymuje się je charakterystykami odcinkowo-liniowymi. Jednak gdy jest to możliwe, podaje się opis analityczny nieliniowości. Opis analityczny jest szczególnie istotny w przypadku ’gładkich’ charakterystyk statycznych, gdzie wykres może dostarczyć niewiele informacji o opisywanej charakterystyce w porównaniu z wyrażeniem analitycznym.

a.) Element ze strefą nieczułości : b.) Element z nasyceniem :

c.) Element ze strefą martwą i nasyceniem :

d.) Przekaźnik dwupołożeniowy e.) Przekaźnik dwupołożeniowy z

bez histerezy : histerezą :

f.) Element z histerezą g.) Element z histerezą

i nasyceniem :

h.) Przekaźnik trójpołożeniowy : - i.) Przekaźnik trójpołożeniowy

z histerezą :

...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

8 PYTANa stefan, Sprawozdania maszyny

Podstrony